Η μέτρηση της γης από τον Ερατοσθένη

Το κείμενο που ακολουθεί είναι από την ιστοσελίδα: WWW.dapontes.gr

Ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (περίπου 275-193 π.Χ.) είναι μια από τις πιο αντιπροσωπευτικές προσωπικότητες της Αλεξάνδρειας του 3ου αιώνα. Στο έργο του (μαθηματικά, λογοτεχνική κριτική, φιλοσοφία, ιστορία, γεωγραφία) αποτυπώνεται ο εγκυκλοπαιδικός και διεπιστημονικός χαρακτήρας της Αλεξανδρινής επιστήμης. Στην πραγματεία του "Περί διαστάσεων της Γης" ο Ερατοσθένης παρουσιάζει μια πρωτοποριακή μέθοδο υπολογισμού της γήινης περιφέρειας. Στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση η μέθοδος αυτή πέρασε στα σχολικά βιβλία των μαθηματικών Β΄ Γυμνασίου (Ιστορικό σημείωμα) και της Αστρονομίας Β΄Λυκείου και αποτελεί προυπόθεση για την πραγματοποίηση ενός project για τη μέτρηση της ακτίνας της Γης με τη συνεργασία μαθητών από δύο διαφορετικά σχολεία. Μια σχετική προσομοίωση υπάρχει στο εκπαιδευτικό λογισμικό ΓΑΙΑ ΙΙ.     

Ο Ερατοσθένης, γύρω στο 230 π.Χ., εργαζόταν στη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας αφού προηγουμένως είχε εργαστεί για μια εικοσαετία στην Αθήνα.  

Το αστρονομικό και το γεωγραφικό πλαίσιο. Το σύμπαν γίνεται αντιληπτό με βάση το σφαιρικό μοντέλο. Η Γη είναι ακίνητη (γεωκεντρικό σύστημα), έχει το ίδιο κέντρο με την ουράνια σφαίρα και αποτελεί ακριβές αντίγραφο της: κκάτω από κάθε ουράνιο κύκλο υπάρχει ο αντίστοιχος γήινος όπως ο Ισημερινός και οι τροπικοί κύκλοι. Ο Κόσμος την εποχή του Ερατοσθένη αναπαριστάνεται στο χάρτη της κατοικημένης γης που φέρει το όνομά του.

Τα γεγονότα που οδήγησαν στη "Μέθοδο του Ερατοσθένη" για τη μέτρηση της ακτίνας της Γης.

Σε έναν πάπυρο της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας ο Ερατοσθένης διάβασε κάτι που τράβηξε την προσοχή του. Στη Συήνη (σημερινό Ασσουάν), το μεσημέρι της μέρας του θερινού ηλιοστασίου (21 Ιουνίου, η πιο μεγάλη μέρα του έτους), το ηλιακό φως έπεφτε στο νερό του πηγαδιού χωρίς να σχηματίζει καμιά σκιά.

(Το πηγάδι του Ερατοσθένη στο Ασσουάν)

Από την άλλη, στην Αλεξάνδρεια - που είναι κτισμένη στις εκβολές του Νείλου ποταμού 800 χιλιόμετρα βοριότερα του Ασσουάν - οι ακτίνες του ήλιου σχηματίζουν σκιά σε έναν γνώμονα (ένα στέλεχος που στερεώνεται κάθετα σ΄ ένα οριζόντιο επίπεδο). 

Η υπόθεση της Μεθόδου του Ερατοσθένη

Εφόσον η Αλεξάνδρεια βρίσκεται βορειότερα της Συήνης και μάλιστα βρίσκεται στον ίδιο περίπου μεσημβρινό μ’ αυτήν, ένας πάσσαλος ή ένας οβελίσκος (στο ρόλο του γνώμονα)θα παρουσιάζει στην περιοχή αυτή μήκος σκιάς το μεσημέρι της μέρας του θερινού ηλιοστασίου. Με άλλα λόγια, η διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου θα σχηματίζει κάποια γωνία με την κατακόρυφο, κάτι που επαλήθευσε ο Ερατοσθένης στην Αλεξάνδρεια. Ένας πάσσαλος όμως στη Συήνη δεν θα δημιουργούσε σκιά.

Ένα σχήμα που αναπαριστάνει τη Γη, τις ακτίνες του Ήλιου και τις δύο πόλεις, μπορεί να αποκαλύψει το ποιες είναι οι αναγκαίες άμεσες μετρήσεις, ώστε να υπολογιστεί το μήκος της περιφέρειας της Γης. Το ύψος και η σκιά του οβελίσκου στην Αλεξάνδρεια (Α) καθώς και η γωνία της κατακορύφου με τη διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου παρουσιάζονται με δυσανάλογα μεγάλο μέγεθος, για να υπάρχει ευκρίνεια στο σχήμα. 
Η ακτίνα της Γης, ΣΟ, μπορεί να υπολογιστεί αν γνωρίζουμε:

α) το μήκος του τόξου ΣΑ (απόσταση Συήνης - Αλεξάνδρειας) και 
β) τη γωνία ΣΟΑ = γωνία της κατακορύφου με τη διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου.

Οι Yπολογισμοί της Μεθόδου του Ερατοσθένη

Η Περιφέρεια της Γης μπορεί να υπολογιστεί αν γνωρίζουμε: α) το μήκος του τόξου s (απόσταση Συήνης - Αλεξάνδρειας) και  β) τη γωνία θ της κατακορύφου με τη διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου.

Η απάντηση σε καθένα από αυτά προϋποθέτει την επίλυση ενός προβλήματος. Και τα δύο αναφέρονται σε μετρήσεις μεγεθών, μιας απόστασης και μιας γωνίας.

α) Η απόσταση Αλεξάνδρειας Συήνης θα έπρεπε να μετρηθεί με κάθε δυνατή ακρίβεια. Ο Ερατοσθένης γνώριζε ότι η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων ήταν περίπου 805 χιλιόμετρα. Σύμφωνα με μαρτυρίες, ο Ερατοσθένης ανέθεσε σε κάποιον επαγγελματία "βηματιστή" να διατρέξει την απόσταση και να τη μετρήσει (την εποχή του Ερατοσθένη μονάδα μέτρησης των αποστάσεων ήταν το στάδιο).

β) Η γωνία μπορεί να μετρηθεί εύκολα με έναν πάσσαλο τοποθετημένο κατακόρυφα. Το νήμα της στάθμης μπορεί να μας εξυπηρετήσει για να το καταφέρουμε. Η γωνία υπολογίζεται αν μετρήσουμε το μήκος της σκιάς του πασσάλου, σύμφωνα με το σχήμα.

Από το σχήμα, με έναν απλό συλλογισμό μπορούμε να πούμε ότι αν:

στη γωνία θ=7,2ο αντιστοιχεί τόξο 805 km, τότε
στη γωνία 360ο αντιστοιχεί τόξο Χ (που είναι όλη η περίμετρος της Γης).

Καταλήγουμε λοιπόν στη σχέση που υπάρχει στο σχολικό βιβλίο:   Μήκος της περιφέρειας Γ = 360 * s / θ ή Γ = 360 * 805 / 7,2 οπότε Γ = 40.250 km.
Από τη σχέση Γ = 2πR υπολογίζουμε R = 40.250 / 2 * 3,14 οπότε R = 6.409 km, τιμή που είναι πολύ κοντά στην πραγματική ακτίνα της Γης.

Ενδιαφέρουσες είναι οι παρατηρήσεις του Robert Osserman αναφορικά με τη μέθοδο του Ερατοσθένη στο βιβλίο του "Η Ποίηση του Σύμπαντος" (εκδ. Κάτοπτρο, 1998).

"Η έξοχη απλότητα της μεθόδου του Ερατοσθένη δεν επισκιάζεται από το γεγονός ότι ο υπολογισμός του εμπεριέχει αρκετές ανακρίβειες και αβεβαιότητες. Πρώτον, η μέτρηση της γωνίας μεταξύ της κατεύθυνσης του ήλιου και της κατακορύφου δεν μπορούσε παρά να είναι προσεγγιστική. Δεύτερον, η Συήνη δεν βρίσκεται ακριβώς αλλά περίπου νότια της Αλεξάνδρειας. Τρίτον, ο ακριβής προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ των δύο πόλεων θα πρέπει να παρουσίαζε σοβαρότατες δυσκολίες ή και να αποδεικνυόταν εντελώς αδύνατος. Και τέλος, υπάρχει σημαντική αβεβαιότητα όσον αφορά τη μετατροπή των αρχαίων μονάδων μέτρησης σε σύγχρονες.... Λαμβάνοντας υπόψη όλα αυτά, συμπεραίνουμε ότι ο υπολογισμός του Ερατοσθένη να χαρακτηριστεί μάλλον "χοντρική εκτίμηση" παρά επιστημονικά ακριβής μέτρηση. Ωστόσο, επιβεβαιώνει θεαματικά ότι οι απλοί αλλά ευφυέστατοι γεωμετρικοί συλλογισμοί μπορεί να αποδεικνύονται τελεσφόροι εκεί όπου η άμεση προσέγγιση υπερβαίνει τα όρια του δυνατού".

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει και η μέθοδος που χρησιμοποίησε ο Ποσειδώνιος με αποτέλεσμα: περίμετρος Γης = 39690 km.

Η προσομοίωση της μεθόδου με πρόγραμμα υπολογιστή

α) Στο Εκπαιδευτικό Λογισμικό ΓΑΙΑ ΙΙ περιλαμβάνεται ένας μικρόκοσμος με όνομα "ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ" όπου επιχειρείται μια στοιχειώδης προσομοίωση.

Ο μικρόκοσμος αυτός συνιστά ένα περιβάλλον διδασκαλίας και μάθησης ευνοϊκό για να αποκτήσουν οι μαθητές μια εικόνα για το τι είναι επιστημονική μέθοδος έρευνας, με αφορμή μίας από τις πιο σημαντικές στιγμές της ιστορίας των ιδεών: τη μέτρηση της ακτίνας της Γης, με τη μέθοδο που χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος το 230 π.Χ. (η οποία και υπάρχει στο διδακτικό εγχειρίδιο των Μαθηματικών Β΄ τάξης ως “Ιστορικό σημείωμα”). Στον μικρόκοσμο αυτόν οι μαθητές θα χρησιμοποιήσουν στοιχεία από την ιστορία της επιστημονικής σκέψης, θα αναζητήσουν πληροφορίες πέρα από το βιβλίο τους, θα πειραματιστούν οι ίδιοι στην αυλή του σχολείου τους και θα χρειαστεί να επικοινωνήσουν με άλλους για να οδηγηθούν στη λύση του συγκεκριμένου προβλήματος.

β) Στο διαδίκτυο υπάρχουν αρκετές προσομοιώσεις (Applets) όπως αυτή που παρουσιάζεται στησελίδα οθόνης.

 Άλλες σχετικές ιστοσελίδες

Τα επιχειρήματα για τη σφαιρικότητα της Γης 

http://tmth.gr/sciencerelated/55-astronomy/264-o-eratosthenis-kai-i-aktina-tis-gis

www.dapontes.gr